ЧИСЛА ФІБОНАЧЧІ

До вашої уваги науково-дослідницька робота слухача Гайворонської філії Кіровоградської МАН учнівської молоді учня 9 класу загальноосвітньої школи 

І-ІІІ ступенів смт. Салькове  Гайворонського району Кіровоградської області Федурка Миколи.

Міністерство освіти і науки України

Департамент освіти і науки Кіровоградської облдержадміністрації

Кіровоградська Мала академія наук учнівської молоді

Гайворонська філія Кіровоградської Малої академії наук учнівської молоді

Відділення: математика   Секція: математика

ЧИСЛА ФІБОНАЧЧІ

Роботу виконав: Федурко Микола Андрійович, учень 9 класу загальноосвітньої школи  І-ІІІ ступенів смт. Салькове    Гайворонського району Кіровоградської області Вчитель: Рябоволик Алла Костянтинівна,   вчитель математики загальноосвітньої  школи І-ІІІ ступенів смт. Салькове  Гайворонського району Кіровоградської області Керівник секції: Гречана Віра Василівна, вчитель математики НВК "Гайворонська гімназія-загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів № 5"

Гайворон – 2015

ТЕЗИ

Науково-дослідницька робота учня 9 класу загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів смт. Салькове Гайворонського району Кіровоградської області, слухача Гайворонської філії Кіровоградської Малої академії наук учнівської молоді Федурко Миколи Андрійовича на тему «Числа Фібоначчі».

Вчитель: Рябоволик Алла Костянтинівна, вчитель вищої категорії загальноосвітньої школи I-III ступенів смт.Салькове.

Науковий керівник: Гречана Віра Василівна, вчитель математики вищої категорії, вчитель-методист НВК "Гайворонська гімназія-загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів №5".

Метою моєї роботи є вивчення послідовності чисел Фібоначчі. Для реалізації поставленої мети означено наступні завдання: розглянути роль чисел Фібоначчі в природі і практичне застосування; розглянути приклади застосування "золотого перерізу" в геометричних задачах, літературі, живопису; переконатися на власному досвіді в правильності чисел Фібоначчі.

В результаті роботи я познайомився з числами Фібоначчі і переконався в достовірності властивості чисел Фібоначчі, яка полягає в тому, що сума двох сусідніх чисел послідовності дає значення наступного за ними.

Цікаво було з'ясувати, який прояв мають числа Фібоначчі у природі, архітектурі, космосі, літературі, живопису.

На власному досвіді переконався в справедливості відношення між числами Фібоначчі.

 

ЗМІСТ

ВСТУП.. 4

РОЗДІЛ 1. 5

ЧИСЛА ФІБОНАЧЧІ 5

1.1.    Життєвий шлях Леонардо Фібоначчі 5

1.2.    Наукова діяльність. 6

1.2.1. Загадка італійського вченого. 7

1.2.2. Властивості послідовності Фібоначчі 7

1.2.3. Спіраль Фібоначчі 8

1.3.    Пропорції Фібоначчі 9

1.3.1. Пропорції Фібоначчі в природі 9

1.3.2. Пропорції Фібоначчі в архітектурі 13

1.3.3. Пропорції Фібоначчі в космосі 14

1.3.4. Пропорції Фібоначчі в літературі 15

1.3.5.Пропорції Фібоначчі в людському організмі 18

ВИСНОВКИ.. 23

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ.. 24

ВСТУП

B даній роботі розглядаються числа послідовності Фібоначчі, їх властивості, a також, тісно пов'язаний з цією темою, феномен «золотого перерізу», в якому більшість вчених бачать одне із найбільш яскравих давно помічених людиною проявів гармонїі природи.

«Золотий переріз», як і загадкові властивості чисел Фібоначчі, володіли думками і почуттями багатьох видатних мислителів минулого і продовжує хвилювати думки сучасників не заради самих математичних властивостей, a тому, що невід’ємно від цінностей об’єктів мистецтва знаходить себе як одиниця структурної єдності об’єктів природи. Скульптура, архітектура, музика, астрономія, біологія, психологія, техніка — ось ті сфери, де так чи інакше знахоить себе «золотий переріз». Сучасні дослідники знаходять його при описі побудови рослин, пропорцій тіл тварин, птиць, людини, в побудові ока i логіки космосу i т.п.

Актуальність теми зумовлена тим, що вже багато тисячоліть кожна людина ставить перед собою «одвічне» філософське запитання, на яке, можливо, ніколи їй не отримати відповідь. Від вiдповiдi на це запитання залежить усвідомлення людиною самої себе, своїх можливостей, природи, та розуміння справжнього смислу власного життя.

У цьому cвiтi існує система ідеалів i взірців поведінки та діяльності. Саме тому метою мого дослідження є опис, аналіз i узагальнення різних виявів цього феномена (Числa Фібоначчі) як математичного еталону, що вказує на органічну єднiсть людини i Всесвіту.

Об’єкт дослідження — числа Фібоначчі та його вияви у різноманітних сферах людської дiяльнocтi. Предметом є характеристики досліджуваноі математичної константи та її роль у поясненні зв язку мiж людиною та Космосом. Розкриття об’єктивних законів гармонії формує мiцний фундамент світоглядного і професійного ставлення до творчості і, отже, до життя. Вивчення та розуміння законів гармонїі здатне направити творчу діяльність людини в русло творення нового, співзвучного об’єктивним законам сприйняття, якими відображені закони гармонії в природі. У цьому полягає одна з найважливіших професійних і соціальних завдань виховання і освіти.

 РОЗДІЛ 1

ЧИСЛА ФІБОНАЧЧІ

  

1.1.          Життєвий шлях Леонардо Фібоначчі

Леонардо Пізанський Фібоначчі (1170-1250). Найвидатнішим математиком Європи в період Середньовіччя був Леонардо з Пізи, більш відомий по своєму прізвиську Фібоначчі (що означає син Боначчі). Фібоначчі безпосередньо іноді використовував ім'я Біголо, яке може означати " ні на що не спроможний " або мандрівник. Цим епітетом його односельці хотіли висловити їх зневагу до людини, яка цікавилася питаннями, які не становили будь-якої практичної цінності, або ж це слово в тосканському діалекті означає людину, яка подорожує? Народившись в італійському місті Піза, Леонардо отримав освіту в Алжирі, де його батько, Гульємо, займав дипломатичну посаду і представляв торговців Республіки Піза. Тут його наставниками були араби. Від них Леонардо дізнався про існування "арабської" десяткової системи з її позиційними позначеннями і нулями. Леонардо швидко зрозумів, що десяткова система досконаліша від поширеної на той час в Європі громіздкої й незручної римської системи. Для поповнення багажу його знань він вирушив в подорож по Єгипту, Сирії, Греції, Сицилії й Провансі. Повернувся він в Пізу в 1200 році з досить обширним матеріалом, який потім виклав в своїй найбільш відомій праці "Книга про абак", яка була, так би мовити, математичною енциклопедією свого часу. Ця книга, видана в 1202 році, стала джерелом, по якому європейці змогли ознайомитися з математичними досягненнями Сходу.

Цю книгу Фібоначчі поділив на 3 частини, в одній з яких йдеться про вирішення проблем, спрямованих на торговців. Вони стосувались ціни товарів, як вирахувати прибуток від угод, перерахунку валюти і т.д. А ІІІ частина присвячена послідовностям Фібоначчі.

Цікавим є й те, що Фібоначчі вів безпосередню переписку з Святим Римським Імператором Федеріко II і саме "Книга про абак" допомогла йому у вирішенні багатьох проблем.

1.2.          Наукова діяльність

 Значну частину засвоєних знань,Фібоначчі виклав у своїй видатній "Книзі абака" (Liber abaci, 1202 ; до наших днів зберігся тільки доповнений рукопис 1228 року). Ця книга містить майже всі арифметичні й алгебраїчні відомості того часу, викладені з винятковою повнотою і глибиною. Вона відіграла значну роль у розвитку математики в Західній Європі протягом кількох наступних століть. Саме за цією книгою європейці знайомилися з арабськими цифрами. Перші п'ять розділів книги присвячено арифметиці цілих чисел на основі десяткової системи числення. У VI і VII главі Леонардо викладає дії зі звичайними дробами. У VIII—X книгах викладені прийоми розв'язання задач комерційної арифметики з використанням пропорцій. У XI главі розглянуті задачі на змішування. У XII главі наводяться задачі на підсумовування рядів — арифметичної і геометричної прогресій, ряду квадратів і, вперше в історії математики, поворотного ряду, що у найпростішому випадку приводить до послідовності так званих чисел Фібоначчі. У XIII главі викладається правило двох помилкових положень і ряд інших задач, що зводяться до лінійних рівнянь. У XIV главі Леонардо на числових прикладах роз'яснює способи наближеного добування квадратного і кубічного коренів. Нарешті, в XV главі зібраний ряд завдань на застосування теореми Піфагора і велика кількість прикладів на квадратні рівняння.

«Практика геометрії» (Practica geometriae, 1220) містить різноманітні теореми, пов'язані з вимірювальним методом. Поряд з класичними результатами Фібоначчі наводить свої власні — наприклад, перше доведення того, що три медіани трикутника перетинаються в одній точці (Архімеду цей факт був відомий, але якщо його доведення й існувало, то до нас воно не дійшло).У трактаті «Квітка» (Flos, 1225) Фібоначчі досліджував задачу, яка в сучасних позначеннях зводиться до знаходження коренів кубічного рівняння

запропоновану йому Іоанном Палермським на математичному змаганні при дворі імператора Фрідріха II. Сам Іоанн Палермський майже напевно запозичив це рівняння з трактату Омара Хайяма «Про докази задач алгебри», де воно наводиться як приклад одного з видів у класифікації кубічних рівнянь. Леонардо Пізанський досліджував це рівняння, показавши, що його корінь не може бути раціональним або ж мати вигляд однієї з квадратичних ірраціональностей, що зустрічаються в X книзі Начал Евкліда, а потім знайшов наближене значення кореня в шістдесяткових дробах, не вказуючи, проте, способу свого розв'язку.

«Книга квадратів» (Liber quadratorum, 1225), містить ряд задач на знаходження розв'язку невизначених квадратних рівнянь. В одному із завдань, також запропонованому Іоанном Палермським, потрібно було знайти раціональне квадратне число, яке, будучи збільшеним або зменшеним на 5, знову дає раціональні квадратні числа.

1.2.1.   Загадка італійського вченого

У XIII столітті італійський математик Фібоначчі розв'язував таку задачу:

хтось придбав пару кроликів і помістив їх у огорожений з усіх боків загін. Скільки кроликів буде через рік, якщо вважати, що кожен місяць пара дає в якості приплоду нову пару кроликів, які з другого місяця життя також починають приносити приплід? Відповідь: 377 пар. У перший місяць кроликів виявиться вже 2 пари: 1 початкова пара, що дала приплід, і 1 народжена пара. У другий місяць кроликів буде 3 пари: 1 початкова, знову дала приплід, 1 зростаюча  і 1 народжена.  В третьому місяці - 5 пар: 2 пари, що дали приплід, 1 зростаюча і 2 народжені. У четвертому місяці - 8 пар: 3 пари, що дали приплід, 2 зростаючі пари, 3 народженні пари. Продовжуючи розгляд по місяцях, можна встановити зв'язок між кількостями кроликів в поточний місяць і в два попередні. Якщо позначити кількість пар через N, а через m- порядковий номер місяця, то Nm = Nm-1 + Nm-2. За допомогою цього виразу розраховують кількість кроликів по місяцях року:

2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377(рис.1)

Рис. 1

1.2.2.   Властивості послідовності Фібоначчі

Числа Фібоначчі - елементи числової послідовності

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ..., в якій кожне наступне число, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх чисел, перші два числа вважаються заданими - це числа 1 і 1. Тобто при всякому n> 2

un = un-1 + un-2, і u1 = 1 і u2 = 1.

Ця послідовність була відома ще в стародавній Індії, де вона застосовувалася в метричних науках.

Одним з найголовніших наслідків цих властивостей є існування так званих коефіцієнтів Фібоначчі, тобто постійних співвідношень різних членів послідовності. Вони визначаються таким чином: відношення будь-якого елемента послідовності до попереднього знаходиться в околі  числа 1,618 ..., через раз то перевершуючи, то не досягаючи його. А відношення будь-якого елемента послідовності до наступного знаходиться в околі числа 0.618(рис. 2).

Ірраціональне число "фі" (Ф = 1,618 ...) - «Золотий переріз», «Золоте середнє», «Відношення квадратів,що обертаються»

0,618 ... - «Золота пропорція».

Якщо ділити елементи послідовності через один, то отримаємо числа 2,618... і 0,382..., які так само є взаємно оберненими числами.

Кожне третє число парне, кожне четверте ділиться на 3, кожне п'яте - на 5, кожне п'ятнадцяте – на 10.

Неможливо побудувати трикутник, сторонами якого є числа ряду Фібоначчі (ніяке число ряду не може повторюватися двічі).

1.2.3.   Спіраль Фібоначчі

Спіраль Фібоначчі - це деяка крива, яка огинає точку свого центру, наближаючись або віддаляючись від неї, все залежить від напрямку, обраного вами. Ці фігури можуть бути як двомірними, так і тривимірними.

Коли будуються такі фігури, то використовується стартова точка, побудована на площині, радіус виступає в ролі безперервної монотонної функції від кута.

Спіраль Фібоначчі, відрізняється від Золотої пропорції і має точку початку. Беручи початок в деякій точці, така фігура зазвичай розгортається нескінченно довго. У послідовності Леонардо є цікаві властивості. Ряд Фібоначчі відрізняється від Золотого Перерізу , так як починається з одиниці або нуля і при цьому прагне до Золотої пропорції. Також він постійно збільшує точність. В деякій точці (коли майже досягнута фі = 1,618) вже неможливо знайти різницю, яка простежувалася між двома спіралями. Розуміння цієї властивості і визначає її дивовижність. Це вражає, однак, будову спіралі Фібоначчі можна спостерігати у великій кількості предметів і явищ.

Прямокутник, ширина і довжина якого, дорівнюють двом сусіднім числам Фібоначчі називають «золотим» прямокутником.

Якщо розбивати його на більш дрібні «золоті» прямокутники і розділити кожен з них дугою, то система придбає форму спіралі, у якої є початок, але немає кінця (рис.3)

 1.3.          Пропорції Фібоначчі

1.3.1.   Пропорції Фібоначчі в природі

Дивує, скільки сталих можна обчислити за допомогою послідовності Фібоначчі і як її члени виявляються у величезній кількості поєднань! Проте не буде перебільшенням сказати, що це не просто гра з числами, а найважливіший математичний вираз природних явищ з усіх коли-небудь відкритих. Приклади, що наводяться нижче, ілюструють деякі цікаві прояви цієї математичної послідовності.

Раковина закручена по спіралі. Якщо її «розвернути», то отримаємо довжину, що ненабагато менша від довжини змії. Так невелика десятисантиметрова раковина має спіраль довжиною 35 см. Спіралі дуже поширені в природі.

Форма спіральної завитої раковини привернула увагу Архімеда. Він вивчав її і вивів рівняння спіралі. Спіраль, побудована за цим рівнянням, названа його ім'ям. Збільшення її кроку завжди відбувається рівномірно. Спіраль Архімеда широко застосовується в техніці.

Німецький поет Гете також підкреслював наявність у природі тенденції до спіральності. Гвинтоподібне та спіралевидне розташування листя на гілках дерев помітили давно. Спіраль побачили в розташуванні насіння соняшника, в шишках сосни, ананасах, кактусах і т.д. Спільна робота ботаніків і математиків пролила світло на ці дивовижні явища природи. З'ясувалося, що в розташуванні листя на гілці, насіння в соняшнику, шишок на сосні проявляється ряд Фібоначчі, а отже, закон золотого перерізу (рис. 4-рис. 9).

   

 

                                                    


                                              


Павук плете павутину спіралевидно. Спіраллю закручується ураган. Навіть налякане стадо північних оленів розбігається по спіралі. Молекула ДНК закручена подвійною спіраллю. Мабуть тому Гете називав спіраль «кривою життя».

Я хотів переконатися в цьому законі, тому порахував кількість спіралей на шишках в двох напрямках,що виявилось дуже цікаво. Кількість спіралей 8 і 13 (рис. 10-рис. 12)

                                   

 Серед придорожніх трав є непримітна рослина — цикорій. Придивимося до неї уважно: від основного стебла йде пагонець; тут розташувався  перший листок.
Пагонець робить викид, зупиняє ріст і випускає листок, але вже коротший від першого, знову робить викид, але вже меншої довжини , випускає листок ще меншого розміру і знову викид. Якщо перший викид прийняти за 100 одиниць, то другий дорівнює 62 одиницям, третій — 38, четвертий — 24 і т.д. Довжина пелюсток теж підпорядкована золотій пропорції. Зростаючи, завойовуючи простір, рослина зберігає певні пропорції. Імпульси її зростання поступово зменшуються в пропорції золотого перерізу(рис. 13)

Іншим прикладом може бути ящірка.

У ящірки спостерігаються приємні для нашого ока пропорції — довжина її хвоста так відноситься до довжини решти тіла, як 62 до 38.(рис.14)

         
І у рослинному, і в тваринному світі наполегливо проявляється формоутворювальна тенденція природи — симетрія щодо напряму зростання та руху. Тут золотий переріз виявляється в пропорціях частин перпендикулярно до напряму зростання.

Природа здійснила поділ на симетричні частини та золоті пропорції. У частинах виявляється повторення будови цілого. Наприклад, яйце птаха.

1.3.2.   Пропорції Фібоначчі в архітектурі

Піраміди.

Багато хто намагався розгадати таємниці Великої піраміди в Гізі. На відміну від інших єгипетських пірамід, це не гробниця. Винахідливість і майстерність архітекторів, використані ними пропорції, символи указують на надзвичайну важливість послання, яке вони хотіли передати майбутнім поколінням через збудовану піраміду.

Ключ до геометрично-математичної таємниці Великої піраміди в Гізі, що так довго був для людства загадкою, насправді був переданий Геродоту храмовими жерцями, які повідомили, що піраміда побудована так, щоб площа кожної із її граней дорівнювала квадрату її висоти.

Довжина граней піраміди дорівнює 783.3 фута (238,7 м), висота піраміди — 484.4 фута (147,6 м). Довжина граней, поділена на висоту, приводить до відношення φ= 1,618. Висота 484,4 фута відповідає 5813 дюймам, а 5, 8,13 — це числа з послідовності Фібоначчі.

Такі цікаві спостереження вказують на те, що конструкція піраміди заснована на відношенні φ= 1,618. Сучасні вчені схиляються до інтерпретації, що давні єгиптяни побудували її з єдиною метою — передати знання, які вони хотіли зберегти для майбутніх поколінь.

Інтенсивні дослідження Великої піраміди в Гізі показали, наскільки обширними були в ті часи пізнання в математиці й астрологи. У всіх внутрішніх і зовнішніх пропорціях піраміди число 1,618 грає центральну роль(рис. 15,рис. 16)

Не тільки єгипетські піраміди побудовані відповідно до досконалих пропорцій золотого перерізу. Те саме явище виявлене й у мексиканських пірамід. Виникає думка, що як єгипетські, так і мексиканські піраміди були зведені приблизно в один і той самий час.

На перерізі піраміди можна побачити форму, подібну до сходів. У першому ярусі їх 16, у другому — 42, у третьому —68.

Ці числа пов'язані з послідовністю Фібоначчі так:

16 * 1,618 ≈ 26; 16 + 26 = 42; 26 * 1,618 ≈ 42; 42 + 26 = 68.

1.3.3.   Пропорції Фібоначчі в космосі

Закономірності золотої симетрії та пропорції виявляються в енергетичних переходах елементарних частинок, у будові деяких хімічних сполук, у планетарних і космічних системах, у генних структурах живих організмів. Ці закономірності, як вказано вище, є в будові окремих органів людини і тіла в цілому, а також виявляються в біоритмах і функціонуванні головного мозку та зорового сприйняття.

Відомо, що І.Тіціус (1729-1796), німецький фізик та астроном, за допомогою послідовності Фібоначчі знайшов закономірність і порядок у відстанях між планетами Сонячної системи(рис. 17,рис. 18)

Послідовність Фібоначчі використовують широко: з її допомогою представляють архітектоніку і живих істот, і рукотворних споруд, і будову Галактик. Ці факти — свідоцтво незалежності послідовності Фібоначчі від умов її прояву, що є однією з ознак її універсальності.

1.3.4.    Пропорції Фібоначчі в літературі

Закони віршування нерозривно пов'язані з математичними законами. Так,  наприклад, можна встановити закономірний зв'язок між багатьма віршами О.С.Пушкіна і числами Фібоначчі, із Золотим перерізом. Віршований текст настільки досконалий, що в ньому обов'язково діють математичні закони. Прикладом можуть служити такі вірші Пушкіна, як  «Не дорого ценю я громкие слова...», «Вакхическая песня», роман «Евгений Онегин».

Багато що в структурі поетичних творів ріднить цей вид мистецтва з музикою. Чіткий ритм, закономірне чергування наголошених і ненаголошених складів, впорядкована розмірність віршів, їх емоційна насиченість роблять поезію рідною сестрою музичних творів. Кожен вірш володіє своєю музичною формою - своєю ритмікою і мелодією. Можна очікувати, що в будові віршів проявляться деякі риси музичних творів, закономірності музичної гармонії, а отже, і золота пропорція. Почнемо з величини вірша, тобто кількості рядків у ньому. Здавалося б, цей параметр вірша може змінюватися довільно. Однак виявилося, що це не так. Наприклад, проведений Н. Васютинським аналіз віршів А.С. Пушкіна з цієї точки зору показав, що розміри віршів розподілені дуже нерівномірно; виявилося, що Пушкін явно віддає перевагу розмірам в 5, 8, 13, 21 і 34 рядків (числа Фібоначчі). Багатьма дослідниками було відмічено, що вірші подібні до музичних творів; в них також існують кульмінаційні пункти, які ділять вірш в пропорції золотого перетину. Розглянемо, наприклад, вірш А.С. Пушкіна "Сапожник":

Картину раз высматривал сапожник
И в обуви ошибку указал;
Взяв тотчас кисть, исправился художник,
Вот, подбочась, сапожник продолжал:
"Мне кажется, лицо немного криво ...
А эта грудь не слишком ли нага?
Тут Апеллес прервал нетерпеливо:
"Суди, дружок, не выше сапога!"

Есть у меня приятель на примете:
Не ведаю, в каком бы он предмете
Был знатоком, хоть строг он на словах,
Но черт его несет судить о свете:
Попробуй он судить о сапогах!

Якщо проаналізувати цю притчу, то помітимо, що вірш складається з 13 рядків. У ньому виділяється дві смислові частини: перша в 8 рядків і друга (мораль притчі) в 5 рядків (13, 8, 5 - числа Фібоначчі).

Я також проаналізував вірш «Вакхическая песня», який складається з двох стовпців по 8 рядків кожен. В стовпцях виділяються 2 смислові частини: перша в 5 рядків, а друга в 3 рядки (3;5;8 - числа Фібоначчі)(рис. 19,рис. 20)

1.3.5.Пропорції Фібоначчі в людському організмі

Художники, вчені, модельєри, дизайнери роблять свої розрахунки, креслення або начерки, виходячи зі співвідношення золотого перерізу .Вони використовують мірки з тіла людини, створеної також за принципом золотої перетину. Леонардо Да Вінчі і Ле Корбюзье перед тим як створювати свої шедеври брали параметри людського тіла, створеного за законом Золотої пропорції. Пропорції різних частин нашого тіла становлять число, дуже близьке до золотого перетину. Якщо ці пропорції збігаються з формулою золотого перерізу, то зовнішність або тіло людини вважається ідеально складеним. Принцип розрахунку золотого перерізу на тілі людини можна зобразити у вигляді схеми представленої нижче. Перший приклад золотого перерізу в будові тіла людини: Якщо прийняти центром людського тіла точку пупа, а відстань між ступнею людини і точкою пупа за одиницю виміру, то зріст людини еквівалентний числу 1. Крім цього є і ще кілька основних золотих пропорції нашого тіла:

відстань від кінчиків пальців до зап'ястя і від зап'ястя до ліктя рівне 1:1.618

відстань від рівня плеча до верхівки голови й розміру голови рівне1:1.618

відстань від точки пупа до маківки голови і від рівня плеча до верхівки голови о рівне 1:1.618

відстань точки пупа до колін і від колін до ступнів рівне 1:1.618

відстань від кінчика підборіддя до кінчика верхньої губи і від кінчика верхньої губи до ніздрів рівне1:1.618

відстань від кінчика підборіддя до верхньої лінії брів і від верхньої лінії брів до верхівки рівне1:1.618

відстань від кінчика підборіддя до верхньої лінії брів і від верхньої лінії брів до верхівки рівне1:1.618

Золотий перетин в рисах обличчя людини як критерій досконалої краси.

У будові рис обличчя людини також є безліч прикладів, що наближаються за значенням до формули золотого перерізу. Проте не кидайтеся відразу ж за лінійкою, щоб обміряти імені всіх людей. Тому що точні відповідності золотому перетину, на думку учених і людей мистецтва,художників і скульпторів, існують тільки у людей з досконалою красою. Власне точне наявність золотої пропорції в особі людини і є ідеал краси для людського ока.

Наприклад, якщо ми додамо ширину двох передніх верхніх зубів і розділимо цю суму на висоту зубів, то, отримавши при цьому число золотого перерізу, можна стверджувати, що будова цих зубів ідеальна.

На людському обличчі існують і інші втілення правила золотого перерізу. Наведемо кілька таких співвідношень:

Висота лоба / ширина обличчя,

Центральна точка з'єднання губ до основи носа / довжина носа.

Висота лоба / відстань від кінчика підборіддя до центральної точки з'єднання губ

Ширина рота / ширина носа,

Ширина носа / відстань між ніздрями,

Відстань між зіницями / відстань між бровами.

Рука людини (рис.21)

Достатньо лише наблизити нині долоню до себе і уважно подивитися на вказівний палець, і ви відразу ж знайдете в ньому формулу золотого перетину. Кожен палець нашої руки складається з трьох фаланг. Сума двох перших фаланг пальця у співвідношенні з усією довжиною пальця і дає число золотого перерізу (за винятком великого пальця). Крім того, співвідношення між середнім пальцем і мізинцем також дорівнює числу золотого перерізу.

У людини 2 руки, пальці на кожній руці складаються з 3 фаланг (за винятком великого пальця). На кожній руці є по 5 пальців, тобто всього 10, але за винятком двох двофалангових великих пальців тільки 8 пальців створено за принципом золотого перетину. Тоді як всі ці цифри 2, 3, 5 і 8 є числа послідовності Фібоначчі.

Золотий перетин присутній в будові всіх кристалів, але більшість кристалів мікроскопічно малі, так що ми не можемо розглядати їх неозброєним оком. Однак сніжинки, також представляють собою водні кристали, цілком доступні нашому погляду. Всі вишуканої краси фігури, які утворюють сніжинки, всі осі, кола та геометричні фігури в сніжинки також завжди без винятків побудовані за досконалої чіткою формулою золотого перерізу.

У Всесвіті всі відомі людству галактики і всі тіла в них існують у формі спіралі, відповідною формулою золотого перерізу. Принципу Золотого Перетину підпорядковані і періоди обертання планет Сонячної системи.

Будова усіх що зустрічаються в природі живих організмів і неживих об'єктів, що не мають ніякого зв'язку і подібності між собою, сплановано за певною математичною формулою. Це є найяскравішим доказом їх усвідомленої створеного згідно якомусь проекту, задуму. Формула золотого перерізу і золоті пропорції дуже добре відомі всім людям мистецтва, бо це головні правила естетики. Будь-який твір мистецтва, спроектоване в точній відповідності з пропорціями золотого перерізу, являє собою довершену естетичну форму.

За цим законом Великого Божественного Творіння створені галактики, створені рослини і мікроорганізми, тіло людини, кристали, живі істоти, молекула ДНК і закони фізики, тоді як вчені і люди мистецтва лише вивчають цей закон і прагнуть наслідувати йому, втілювати цей закон у своїх творах.

Поза сумнівом, що все в нашому світі, у навколишньому житті створене Всевишнім Господом без будь-якої подоби. Тоді як люди тільки копіюють і наслідують приклади, які існують у природі, які Він учинив. 

Ми лише відтворюємо з більшою або меншою мірою майстерності подоби досконалості форм життя, що оточують нас повсюдно.

Працюючи над цією темою, мені захотілося переконатися що співвідношення між довжинами деяких частин тіла підпорядковані числам Фібоначчі. Я долучив до дослідження членів моєї родини (рис.22-рис. 28).

Я зробив деякі виміри і заніс їх в таблиці (табл.1.1,табл.1.2)

Таблиця 1.1.

Виміри власного тіла

№ з/п	Виміри	Довжина, см	Відношення
1	Ширина рота/ширина носа	5.9/3.9	1.513
2	Ширина носа/відстань між ніздрями	3.9/2.8	1.393
3	Відстань між бровами/відстань між зіницями	9/6.5	1.385
4	Ширина обличчя/висота лоба	13/7.5	1.733
5	Висота лоба/відстань від підборіддя до з'єднання губ	7/5.4	1.300
6	Від зап'ястя до ліктя/відстань від зап'ястя до кінчиків пальців	26/19.5	1.333

Таблиця 1.2

Відношення довжини руки від зап’ястя до ліктя/від зап’ястя до кінчиків пальців

Експерементовані	Довжина,см	Відношення
Мама	25/19	1.316
Тато	26/20	1.3
Сестра	24,5/16	1.531
Я	26/19.5	1.333
Вчитель	25/18	1.390

ВИСНОВКИ

Ідея про гармонійність світу і систем, пов'язана з відносинами протилежностей всередині об'єкта, не нова. Вона сходить до Стародавньої Греції. "Бог,- це єдність, а світ складається з протилежностей. Те, що призводить протилежності до єдності і створює все в космосі, є гармонія. Гармонія є божественною і полягає в числових відношеннях ..." У наші дні ідея гармонії систем набуває все більшого визнання. Довіряючи оку більше, ніж іншим органам почуттів, людина в першу чергу навчилася розрізняти навколишні предмети за формою. Інтерес до форми якого-небудь предмета може бути продиктований життєвою необхідністю, а може бути викликаний красою форми. Форма, в основі побудови якої лежать поєднання симетрії і золотого перетину, сприяє найкращому зоровому сприйняттю і появі відчуття краси і гармонії. Ціле завжди складається з частин, частини різної величини знаходяться в певному відношенні один до одного і до цілого. Принцип золотого перетину - вищий прояв структурної і функціональної досконалості цілого і його частин у мистецтві, науці, техніці і природі. Цю думку поділяли і поділяють багато видатних сучасних вчених, доводячи в своїх дослідженнях, що справжня краса завжди функціональна. У їх числі і авіаконструктори. І архітектори, і антропологи, і багато інших.

Виконавши роботу, я познайомився з числами Фібоначчі і переконався в достовірності властивості чисел Фібоначчі, яка полягає в тому, що сума двох сусідніх чисел послідовності дає значення наступного за ними.

Неймовірно цікаво було дізнатися, що числа Фібоначчі мають різний прояв у природі, архітектурі, космосі,літературі,живопису.

Я розширив свої знання з математики, а також переконався, що відношення між довжинами частин тіла наближаються до «Золотого перерізу»

 СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1.Воробйов Н.Н. Числа Фібоначчі. - Наука, 1978. - Т. 39. - (Популярні лекції з математики) .

2.Маркушевич А.І. Зворотні послідовності. - Держ. Видавництво Техніко-Теоретичною Літератури, 1950. - Т. 1. - (Популярні лекції з математики).

3.Рудаков Числа Фібоначчі і простота числа 2127-1 // Математическое Просвещение, третя серія. - 2000. - Т. 4.

4.Дональд Кнут Мистецтво програмування, том 1. Основні алгоритми = The Art of Computer Programming, vol.1. Fundamental Algorithms. - 3-е вид. - М .: «Вільямс», 2006. - С. 720. - ISBN 0-201-89683-4.

5. Воробйов Н.Н. Числа Фібоначчі.-М.,Наука,1984.

6. Марутаев М.А. О гармонии как закономерности.-М.,1978.

7. Стахов А.П. Коды золотой пропорции.-М.,1984.

ІНТЕРНЕТ-РЕСУРСИ

http://uk.wikipedia.org/wiki

http://elementy.ru/trefil/21136

http://e-maxx.ru/algo/fibonacci_numbers