Урок алгебри в 9 класі ПРОГРЕСІЇ ТА ЇХ ПРАКТИЧНЕ ЗАСТОСУВАННЯ

Тема :  Прогресії та їх практичне застосування.

Мета: Узагальнити, систематизувати, розширити та поглибити знання  учнів з теми,  показати застосування теорії прогресій у житті, сприяти формуванню стійкого пізнавального інтересу до математики, виховувати впевненість у собі шляхом створення ситуації успіху.

Обладнання: картки із запитаннями теоретичного характеру, картки з завданнями для гри «Морський бій».

Епіграф:         

«Найкраща помилка та,  яку допускають під час навчання»

                                                                                          Григорій Сковорода

Хід уроку

1.Актуалізація опорних знань.

Ми вивчили одну з найцікавіших тем математики – прогресії. Їх внутрішня гармонія, строга витончена краса вражають. Теоретичні відомості, пов’язані з прогресіями, вперше зустрічаються в документах Стародавньої Греції, які дійшли до нас.

Як я вам уже раніше говорила, слово прогресія латинського походження і означає «рух вперед».  З поняттям  прогресії пов’язані різні історії і легенди. Цікава така задача-легенда, яка відноситься до початку нашої ери: індійський цар Шерам покликав до себе винахідника шахової гри, свого підданого Сету, щоб нагородити його винахід. Сета захотів за першу клітинку шахової дошки 1 пшеничне зерно, за другу -2 зернини, за третю -4 зернини і т.д. Проте цар не зміг виконати бажання Сети. Чому?

Здається Сета запросив невелику винагороду. Але це тільки на перший погляд. В цій задачі треба знайти суму геометричної прогресії: 

1;  2;  2²;  2³; … 2⁶³.

Її сума дорівнює 2⁶⁴ – 1 = 18 446 744 073 709 551 615.

Таку кількість зерна пшениці можна зібрати з площі, у 2000 разів більшої від усієї поверхні Землі.

Амбар, що може вмістити все зерно, запрошене Сетою як винагорода, мав бути таких розмірів: висота 4м, ширина 10м, а довжина 300000000 км, тобто вдвічі більша за відстань від Землі до Сонця. Об’єм цього амбару 12х10 куб.м.

Звичайно індуський цар був неспроможний видати таку винагороду. Але якби він був сильний в математиці, легко міг би звільнитися від такого обтяжливого боргу. Для цього потрібно було лише запропонувати Сеті самому відлічити собі зернину за зерниною запрошену ним пшеницю.

І справді: коли б Сета взявшись за рахунок, вів його безперервно вдень і вночі, відлічуючи по зернині за секунду, то за першу добу він відлічив би лише 86 400 зернин. Щоб відрахувати мільйон зернин, потрібно було б не менше як 10 діб невпинної лічби. Один м³ пшеничних зерен відлічував би приблизно півроку. Присвятивши лічбі навіть решту свого життя, Сета отримав би лише незначну частку жаданої винагороди.

Як бачите, наскільки важливо добре знати математику. Тоді ніхто вас не зможе обманути.

Сьогодні на уроці ми розглянемо і розв’яжемо  цікаві задачі на обчислення сум з використанням прогресій.

Очікувані результати:

Після уроку учні зможуть:

-         Застосовувати теоретичні відомості про прогресії до розв’язування вправ;

-         Навчитися сприяти свідомому застосуванню вивченого матеріалу під час розв’язування задач;

-         Звертатися до власного досвіду та залучати його до розв’язування вправ;

-         Набути навичок роботи в парах;

-         Набути навичок  творчо мислити.

2.Обмін необхідною інформацією. Інтерактивна технологія «Навчаючи - вчусь».

Учні отримують карточки з питаннями теоретичного характеру, по одній на кожного учня. Зосереджуються на відповідях. Якщо відповіді на якесь запитання не знають просять допомоги в однокласників. Після виконання цієї вправи на дошці записують основні формули.

         Запитання:

1.     Що називають послідовністю?

2.     Яку послідовність називають арифметичною прогресією?

3.     Яку послідовність називають геометричною прогресією?

4.     Що називають різницею арифметичної прогресії?

5.     Що називають знаменником геометричної прогресії?

6.     Назвати формулу п-ого члена арифметичної прогресії?

7.     Назвати формулу п-ого члена геометричної прогресії?

8.     Назвати формулу  суми п  членів арифметичної прогресії.

9.     Назвати формулу  суми п  членів геометричної прогресії.

10. Назвати формулу  суми нескінченно спадної геометричної прогресії.

Гра «Морський бій» Завдання отримує кожен учень, а після виконання всіх завдань отримує ключ.

1.Яка з числових послідовностей є геометричною прогресією:

а) 2; 6; 18; 36;

б) 80; 40; 20; 5;

в) 4; 8; 16; 32;

г) 2;10; 50; 250.

2. Знайти перший член арифметичної прогресії, якщо а₂ =2,1; d = 0,7:

а) 1,4;

б) 2,8;

в) 0,3;

г) 14,7.

3. Чому дорівнює знаменник геометричної прогресії, якщо в₁ =36, в₂ = 9:

а) 4;

б) 1/4;

в) 27;

г) – 27.

4. Чому дорівнює різниця арифметичної прогресії, якщо а₁ = - 6; а₂ = - 4:

а)  - 10;

б) - 2;

в)  10;

г)  2.

5.Знайти другий член арифметичної прогресії,якщо  а₁ = 4; а₃ = 10

а)  - 7;

б)  7;

в) 14;

г)  6.

Ключ.

	1	2	3	4	5
а	м	с	ш	ф	д
б	о	е	п	п	х
в	у	т	о	а	ю
г	ч	р	і	і	в

Відповідь:  успіх.

Всі хто справився з усіма завданнями вірно – молодці. Бажаю, щоб успіх був з вами завжди. А тепер  розв’яжемо задачі:

1.     Сходи, що ведуть на веранду, мають 8 східців. Перша сходинка -бетонна плита заввишки 10см, усі інші східці мають висоту 15см. На якій висоті від землі знаходиться підлога веранди?

2.     Із «Арифметики» М.П. Магніцького. Якийсь хазяїн продавав коня за 156 крб. Однак покупець, придбавши коня, передумав і повернув його продавцеві, кажучи: - Немає рації мені купувати за цю ціну коня, бо він таких грошей не вартий. Тоді продавець запропонував інші умови: - Якщо, на твою думку, ціна коня надто висока, то заплати лише за цвяхи, що в його підковах. Цвяхів у кожній підкові 6. За перший цвях дай мені лише ¼ копійки, за другий ½ копійки і т.д. Покупець спокушений низькою ціною, бажаючи даром дістати коня, прийняв умови продавця, розраховуючи, що за цвяхи доведеться заплатити не більше 10крб. Скільки повинен заплатити покупець?  (відповідь: 4193303 і ¾ коп., тобто близько 42 тисяч карбованців).

3.     Підступний заповіт. Французька графиня Елізабет-Анжеліна де Боутвіль овдовіла в 20 років. Її коханий чоловік – губернатор Сенліса залишив такий заповіт: за перший рік після його смерті вдові має виплачуватись 1 золота монета. А якщо вона не вийде заміж, кожного наступного року має одержувати вдвічі більше, ніж попереднього. Графиня прожила ще 69 років і не вийшла заміж. На яку суму вона отримала право? (відповідь: на суму 14757395231498506112 золотих монет. Такої суми грошей не існує в усіх банках світу).

Фізкультхвилинка

4.     За одну хвилину із однієї бактерії утворюється дві. Одна бактерія разом із своїм потомством заповнює пробірку за 1 годину. За який час цю ж пробірку заповнять дві бактерії?  (59 хв.) за який час одна бактерія заповнить таку пробірку до половини?   (59 хв.)

5.     Є книга , що містить 16 подвійних аркушів. На якому аркуші сума чисел, якими пронумеровані сторінки, буде найбільшою? (однакова)

6.     У бак за першу секунду наливається 33літри води, а за кожну наступну на 2 літри менше. У дні бака є отвір, через який першої секунди виливається 3 літри води, а кожної наступної – на 2 літри більше. Коли рівень води в баку буде найбільшим?  (відповідь: на 8 секунді)

7.     Труби складені в 10 рядів так, що в нижньому ряді лежить 10 труб, а у верхньому - одна. Скільки всього труб?

Жартівливий вірш, який ви зараз почуєте, має математичний зміст. Відгадайте цей зміст і доповніть останній рядок. Без обчислення не обійдеться!

  

          Слон живе у нас в квартирі –

           Поверх 2, під’їзд 4.

           Звик він часто харчуватись:

           Вранці в 8, вдень – в 16 .

           На сніданок неодмінно –

           32 оберемки сіна,

           Це водою слід запити –

           64 літри.

           На обід даємо рису,

          Огірків 128,

          Помідори також їсть –

          250 і 6.

          З’їсть млинців 512 –

          Це якщо не постаратись,

          А як зробиш на кефірі –

         ( 1 0 2 4).

Казка – вистава  «Кравець Платончик та пан Максименко»  (якщо є час).

Багатьом здається, що математика, це така наука, яка немає жодного зв’язку з природою, тваринним світом. Насправді, жива природа теж живе за математичними законами ( в ідеалі). Прогресії знаходять своє місце в живому світі: швидке розмноження (маківки, кульбабки). Законами геометричної прогресії користуються також шахраї, які хочуть швидко розбагатіти (різні акції).

Приклади застосування арифметичної прогресії в повсякденному житі: вартість телеграм, вартість проїзду в таксі та інше.

 Задачі, створені на основі арифметичної і геометричної прогресій, були і залишаються доброю нагодою випробувати кмітливість і гнучкість розуму.

Підсумок уроку. Оцінювання результатів уроку.

1.     Що ми робили на уроці?

2.     Що вдалося повторити за урок?

3.     Що нового ви навчилися на сьогоднішньому уроці?

4.     Навіщо ми це робили?

5.     Чи досягли очікуваних результатів?

6.     Що сподобалось на уроці? Що не сподобалось?

7.     Над чим ще потрібно попрацювати?

Домашнє завдання:

Додаткова задача:

Одного разу незнайомець постукав у вікно багатого покупця і запропонував йому таку угоду: «Я буду кожного дня протягом 30 днів приносити тобі по 100 000 крб. а ти мені першого дня даси за 100 000крб –

1 коп., другого дня за 100 000крб – 2 коп. і так кожного дня будеш збільшувати винагороду в 2 рази. Якщо ти зацікавився цією угодою. То з завтрашнього дня і почнемо.» купець зрадів такій нагоді збагатіти. Він підрахував, що за 30 днів отримає від незнайомця 3 000 000крб. наступного дня пішли вони до нотаріуса і підписали угоду. Хто в цій угоді програв: купець чи незнайомець?